二体相互作用の例

以下は「二体相互作用（二つの粒子の自由度が同時に関わる項）」の代表例を、（1）第一量子化（座標で書く）と（2）第二量子化（生成消滅演算子で書く）を織り交ぜて列挙し、それぞれが何を意味するかを簡潔に説明したものです。

物性物理の研究で、何が面白いのかを考えるときに。

共通

第二量子化でのV_{ijkl}の定義

単粒子基底{\phi_i(\mathbf r)}（スピンを含むならi\equiv(\mu,\sigma)で

\hat\psi(\mathbf r)=\sum_i \phi_i(\mathbf r),\hat a_i

と展開し、相互作用が（スピンに依らない）V(\mathbf r-\mathbf r')のとき

\hat H_{\rm int}=\frac12\int d\mathbf r d\mathbf r' 
\hat\psi^\dagger(\mathbf r)\hat\psi^\dagger(\mathbf r') V(\mathbf r-\mathbf r') 
\hat\psi(\mathbf r')\hat\psi(\mathbf r)

を基底に射影すると

\hat H_{\rm int}=\frac12\sum_{ijkl} V_{ijkl} \hat a_i^\dagger \hat a_j^\dagger \hat a_l \hat a_k

V_{ijkl}=\int d\mathbf r d\mathbf r' 
\phi_i^* (\mathbf r) \phi_j^* (\mathbf r') V(\mathbf r-\mathbf r')
\phi_k(\mathbf r)\phi_l(\mathbf r').

（フェルミオンでは交換対称性の扱いとして、しばしば反対称化行列要素\langle ij||kl\rangle=V_{ijkl}-V_{ijlk}を使います。）

平均場で現れる代表的な秩序パラメータ(オーダーパラメーター)

四次を二次に落とすとき、基本は 正規（粒子数保存）チャネル と 異常（ペアリング）チャネル です。

正規（Hartree/Fock）：

\rho_{ki}\equiv \langle \hat a_i^\dagger \hat a_k\rangle  \quad(\text{実空間なら }n(\mathbf r)=\langle \psi^\dagger\psi\rangle, \mathbf m(\mathbf r)=\langle \psi^\dagger\boldsymbol\sigma\psi\rangle)

異常（BCS/HFB）：

\kappa_{ij}\equiv \langle \hat a_j \hat a_i\rangle,\qquad  
    \Delta_{ij}\sim \sum_{kl} V_{ijkl},\kappa_{kl}  

格子ならよく

n_i=\langle \hat n_i\rangle,\quad  
    m_i=\langle \hat n_{i\uparrow}-\hat n_{i\downarrow}\rangle,\quad  
    \chi_{ij}=\langle \hat c_i^\dagger \hat c_j\rangle,\quad  
    \Delta_{ij}=\langle \hat c_{j\downarrow}\hat c_{i\uparrow}\pm\cdots\rangle  

を使います。

クーロン相互作用（電荷どうし）

第一量子化

V = \sum_{i < j}\frac{e_i e_j}{4\pi\varepsilon_0,|\mathbf r_i-\mathbf r_j|}

意味：電荷をもつ粒子どうしの静電相互作用。電子系では最も基本的な二体相互作用で、遮蔽や相関の起源になる。

第二量子化：一般形

\hat H=\frac12\sum_{ijkl}V_{ijkl}, \hat a_i^\dagger \hat a_j^\dagger \hat a_l \hat a_k

V_{ijkl} は上の 1/|\mathbf r-\mathbf r'| を単粒子基底に投影した行列要素。上の一般式にV(\mathbf r-\mathbf r')=\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0|\mathbf r-\mathbf r'|}を代入したもの。

平均場の秩序パラメータ

• Hartree：電荷密度 n(\mathbf r)=\langle \psi^\dagger\psi\rangle（これが作る静電ポテンシャル）
• Fock：密度行列 \rho_{ki}=\langle a_i^\dagger a_k\rangle（交換＝有効的な非局所ポテンシャル）
• 自発的秩序としては、系によって CDW（密度波）ならn(\mathbf r)の空間変調、スピン秩序なら\mathbf m(\mathbf r)。

接触相互作用（デルタ相互作用：冷却原子で典型）

第一量子化

V=g\sum_{i < j}\delta(\mathbf r_i-\mathbf r_j)

意味：短距離でのみ効く相互作用を極限的に表したもの。希薄ボース気体やフェルミ気体で、低エネルギー散乱（散乱長）を有効結合 g に押し込める。

第二量子化

\hat H=\frac{g}{2}\int d^3r;\hat\psi^\dagger(\mathbf r)\hat\psi^\dagger(\mathbf r)\hat\psi(\mathbf r)\hat\psi(\mathbf r)

場演算子が同一点で4つ並ぶ（四次）ことが特徴。

平均場の秩序パラメータ

• ボース系：凝縮波動関数\Phi(\mathbf r)=\langle \psi(\mathbf r)\rangle（GP方程式の秩序パラメータ）
• フェルミ系（有効引力の場合）：局所ペア\Delta(\mathbf r)\propto g\langle \psi_\downarrow(\mathbf r)\psi_\uparrow(\mathbf r)\rangle

Hubbard相互作用（同一格子点の反発）

格子・第二量子化

\hat H_U=U\sum_i \hat n_{i\uparrow}\hat n_{i\downarrow}

意味：同じ格子サイトにアップ・ダウンの2電子が同時にいるとエネルギー (U) を払う、という「局所の二体反発」。強相関電子系の最小模型（モット絶縁体、反強磁性、超伝導などの出発点）。

V_{ijkl}

（サイト基底i\equiv(\text{site},\sigma))）

オンサイトでのみ作用するので、概念的に

• 位置（サイト）については「同じサイト」のみ非零
• スピンは\uparrow\downarrowの組で効く
  という制約が入ります（結果として、オンサイト密度積の形に一致するV_{ijkl}のみが残る）。

平均場の秩序パラメータ

• 密度：n_i=\langle n_{i\uparrow}+n_{i\downarrow}\rangle（CDW 等）
• 磁化：m_i=\langle n_{i\uparrow}-n_{i\downarrow}\rangle（反強磁性など）
• （引力Hubbardなら）オンサイト・ペア：\Delta_i\propto \langle c_{i\downarrow}c_{i\uparrow}\rangle

拡張Hubbard（最近接密度相互作用）

格子・第二量子化

\hat H_V=V\sum_{\langle i j\rangle}\hat n_i \hat n_j

意味：隣り合うサイト間の斥力（または引力）。電荷秩序（CDW）や相分離など、密度の空間構造を作りやすい。

V_{ijkl}

サイト基底で「iとj が最近接のときに密度同士が結合」する要素が非零になる（距離条件がV_{ijkl}に入る）。

平均場の秩序パラメータ

• CDW：\langle n_i\rangleのサブ格子差（空間変調）
• 結合（ボンド）秩序：\chi_{ij}=\langle c_i^\dagger c_j\rangle（Fock分解を入れると有効ホッピングが変調）
• 系によってはペアリング（近接ペア）\Delta_{ij}を取ることもある

Heisenberg交換相互作用（スピンどうし）

形

\hat H_J=J\sum_{\langle ij\rangle}\hat{\mathbf S}_i\cdot\hat{\mathbf S}_j

意味：スピン自由度間の二体結合。J>0 で反強磁性（隣同士が反平行を好む）、J<0 で強磁性（平行を好む）。しばしば電子のクーロン反発＋量子力学的交換から有効模型として現れる。

V_{ijkl}

（電子演算子で書き直すと四次）

\mathbf S_i=\frac12 c_{i\alpha}^\dagger \boldsymbol\sigma_{\alpha\beta} c_{i\beta}

より \mathbf S_i\cdot\mathbf S_jはc^\dagger c^\dagger c cの和に展開でき、したがって「サイトi,jをまたぐ交換型のV_{ijkl}」として表現できます（密度×密度成分と“粒子交換”成分を含む）。

平均場の秩序パラメータ

• 磁気秩序：\langle \mathbf S_i\rangle（ネール秩序など）
• RVB/スピン液体の平均場：ボンド\chi_{ij}=\langle c_i^\dagger c_j\rangle
• シングレット・ペア：\Delta_{ij}=\langle c_{j\downarrow}c_{i\uparrow}-c_{j\uparrow}c_{i\downarrow}\rangle

Ising型相互作用（特定成分のみ）

形

\hat H= -J\sum_{\langle ij\rangle}\hat S_i^z \hat S_j^z

意味：スピンの z 成分だけが結合する近似。異方的磁性体、位相転移の基本模型として頻出。

V_{ijkl}

S_i^z=\frac12(n_{i\uparrow}-n_{i\downarrow})

なのでS_i^zS_j^zは密度（スピン密度）同士の積＝四次。V_{ijkl}は「サイトi,jをまたぐz成分のスピン密度結合」に対応する要素として定義されます。

平均場の秩序パラメータ

• z磁化：m_i^z=\langle n_{i\uparrow}-n_{i\downarrow}\rangle

双極子–双極子相互作用（磁気双極子・電気双極子）

形（概念式）

V(\mathbf r)\propto \frac{\mathbf d_1\cdot\mathbf d_2-3(\mathbf d_1\cdot \hat{\mathbf r})(\mathbf d_2\cdot \hat{\mathbf r})}{r^3}

意味：1/r^3で減衰し、角度依存（異方性）が強い長距離相互作用。極性分子ガス、磁性原子（Dy, Er）などで重要。密度相互作用に比べて配向が効く。

V_{ijkl}

一般式にV_{\rm dd}(\mathbf r-\mathbf r')を入れるだけで

V_{ijkl} = \int d \mathbf r d\mathbf{r'} 
\phi_i^* (\mathbf r) \phi_j^* (\mathbf r') V_{\rm dd}(\mathbf r-\mathbf r'),  
\phi_k(\mathbf r)\phi_l(\mathbf r')  

V_{\rm dd}(\mathbf r-\mathbf r')\propto(1-3\cos^2\theta)/r^3)

（長距離＋強い異方性が行列要素に反映される。）

平均場の秩序パラメータ

密度n(\mathbf r)（異方的な形状変形、ストライプ/CDW など）

（内部自由度がある場合）磁化・配向の秩序： \langle \mathbf S(\mathbf r)\rangleや\langle \mathbf d(\mathbf r)\rangle

フェルミ系では運動量空間の歪み（ネマティック）を\rho_{\mathbf k\mathbf k'}の異方性として扱うことも多い

BCS型「有効引力」（ペアリング相互作用）

形（運動量空間の典型）

\hat H_{\text{pair}}=\sum_{\mathbf k,\mathbf k'} V_{\mathbf k\mathbf k'},
\hat c_{\mathbf k\uparrow}^\dagger \hat c_{-\mathbf k\downarrow}^\dagger
\hat c_{-\mathbf k'\downarrow}\hat c_{\mathbf k'\uparrow}

意味：(\mathbf k\uparrow,-\mathbf k\downarrow)の対（クーパー対）を散乱させる二体相互作用。電子–格子相互作用などの結果として「低エネルギー有効理論」に現れ、平均場で超伝導ギャップ \Delta が出る。

V_{ijkl}

基底をi\equiv(\mathbf k,\sigma)に取ると、BCSの有効相互作用は
(\mathbf k\uparrow,-\mathbf k\downarrow)の“対”を
(\mathbf k'\uparrow,-\mathbf k'\downarrow)に散乱する要素だけを残したV_{ijkl}です。具体的には

V_{(\mathbf k\uparrow)(-\mathbf k\downarrow)(\mathbf k'\uparrow)(-\mathbf k'\downarrow)}
\equiv V_{\mathbf k\mathbf k'}

のように同定します（他の組はモデルとして捨てている、という位置づけ）。

平均場の秩序パラメータ

ギャップ：

\Delta_{\mathbf k}=-\sum_{\mathbf k'}V_{\mathbf k\mathbf k'} 
\langle c_{-\mathbf k'\downarrow}c_{\mathbf k'\uparrow}\rangle

(\kappa_{\mathbf k}=\langle c_{-\mathbf k\downarrow}c_{\mathbf k\uparrow}\rangleが本体）

核力の有効二体相互作用（中心力＋スピン依存など）

形（例：中心力の模式）

V=\sum_{i < j} V(r_{ij})\quad (\text{実際はスピン・テンソル項等も})

意味：陽子・中性子間の強い相互作用。短距離で強い斥力、やや長距離で引力などの特徴を持ち、有効相互作用として扱うことが多い（詳細はモデル依存）。

V_{ijkl}

単粒子基底（例：調和振動子基底）にスピン・アイソスピンを含めてi=(\mu,s,t)とし、

V_{ijkl}=\int d\mathbf r,d\mathbf r' 
\phi_i^* (\mathbf r)\phi_j^* (\mathbf r') V(\mathbf r,\mathbf r';\text{spin,isospin}) 
\phi_k(\mathbf r)\phi_l(\mathbf r')

（実際は中心力・テンソル・スピン軌道などの演算子構造を含むので、その分だけ行列要素もチャンネル分解される。）

平均場の秩序パラメータ

• Hartree–Fock：密度行列\rho_{ij}=\langle a_j^\dagger a_i\rangle
• HFB（核の超流動）：ペア密度\kappa_{ij}=\langle a_j a_i\rangle（対応する\Delta_{ij}）

まとめ: 一般の二体相互作用（最も抽象的な書き方）

形（第一量子化）

\hat H=\sum_i \hat h(i)+\frac12\sum_{i\neq j} \hat V(i,j)

意味：「1体項（運動・外場）」＋「2体項（相互作用）」という分解そのもの。どんな具体例もこの枠に入る。

V_{ijkl}

V_{ijkl}=\langle ij|\hat V|kl\rangle  

座標表示に落とすと冒頭の二重積分

平均場の秩序パラメータ

• 対称性を壊さない通常相：\rho（密度、交換、ボンド）
• 超伝導/超流動相：\kappa,\Delta（ペアリング）
• 磁性相：\mathbf m（スピン密度）
• 密度波：\langle n\rangleの空間変調
• ネマティック等：\rhoの角度・結合方向の異方性